ĐỊNH LÝ CEVA
1. Định lý Ceva thuận: Cho tam giác ABC , gọi
lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh
BC ,
. Chứng minh rằng nếu các đường
đồng quy thì
ta có
.
Chứng minh
Qua
tại
.
dựng đường thẳng song song với
Áp dụng định lý Talet ta có:
Khi đó ta có:
.
.
cắt
tai
và cắt
2. Định lý Ceva đảo:
Cho tam giác ABC , gọi
, P lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh
BC ,
đồng quy.
. Chứng minh rà̀̀ng nếu
thì
Chứng minh
Gọi I là giao điểm của BN và CP , gọi M ' là giao điểm của AI và BC ,
khi đó AM ', thuận ta có
là các đường đồng quy nên theo định lý Ceva
Mặt khác theo giá thiết
.
2. Định lý Ceva đảo:
Cho tam giác ABC , gọi
, P lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh
BC ,
đồng quy.
. Chứng minh rà̀̀ng nếu
thì
Chứng minh
Gọi I là giao điểm của BN và CP , gọi M ' là giao điểm của AI và BC ,
là các đường đồng quy nên theo định lý Ceva
khi đó AM '
thuận ta có
Mặt khác theo giá thiết
.
VÍ DỤ
Bài 1. Cho
hai điểm nằm trên
. Gọi D là trung điểm của
và
lần lượt là
sao cho
đồng quy. Chứng
minh rằng
.
Giải
Áp dụng định lý Ceva cho
với các đường đồng quy là
và CE ta có
Vì
nên
suy ra
Vậy theo định lí Talét ta có: EF // BC
Bài 2. Cho tam giác ABC , gọi M là chân đường vuông góc kẻ từ
Axuống đường phân giác của góc
và L lần lượt là chân
đường vuông góc kẻ từ A và C xuống đường phân giác của góc
ABC . Gọi F là giao của MN và
là giao của BF và
là
giao của BL và AC . Chứng minh rằng DE song song với MN
Giải
Kéo dài AM cắt BC tại G , kéo dài AN cắt BC tại I, kéo dài CL cắt AB tại J.
Khi đó
.
suy ra MN và BC song song với nhau
Gọi H Là giao của LF và BC , ta có
nên
.
.
Trong tam giác BLC có
cát
nhau tại F , theo định lý Ceva ta có
.
Vì
nên
, suy ra DE // BC
Từ (1) và (2) suy ra MM song song với DE .
Bài 3. Cho
lấy
thí tụ trên cạnh
sao cho
. Chíng minh
,
đồng quy.
Giải
Cách 1: (Chứng minh đồng quy) Gọi
Theo định lý Talét ta có:
; và
⇒
Áp dụng định lý Ceva cho
ta có
đồng quy.
Cách 2: (Chín̛g minh thẳng hàng) Từ A kẻ đường thẳng // BC cá́t BE tại
Ta có
Suy ra
Áp dụng định lý Menelaus cho
thì F, I, C thẳng hàng.
Từ đó suy
đồng quy.
Bài 4. Cho đường tròn nội tiếp
tiếp xúc các cạnh
lần lượt tại
. Chứng minh
đồng quy.
Giải
Cách 1: (Chứng minh đồng quy) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau:
Suy ra Áp Dụng định lý Ceva cho
suy ra
, CF đồng quy.
Cách 2: (Chứng minh thẳng hàng) Từ A kẻ đt song song với BC cắt CF tại N
. Ta có
Áp dụng định lí Menelaus cho
thì
đồng quy.
Bài 5. Cho tam giác ABC đường cao AH . Lấy
thứ tự trên
sao cho AH là phân giác góc DHE. Chứng minh:
đồng quy.
Giải
Cách 1: (Chứng minh đồng quy)
Từ A kẻ đt // BC cắt
tại M và N
Vì HA là phân giác của góc A , HA là đường cao nên
Ta có:
.
Áp dụng định lý Ceva cho
suy ra
đồng quy.
Cách 2: (Chứng minh thẳng hàng)
Từ A kẻ đt // BC cắt
lần lượt tại M, N, K
,
Gọi
Ta có:
và
Áp dụng định lí Menelaus cho
đồng quy.
thì
thẳng hàng. Vậy
Từ 1984
Đến năm 2024, cô đã dìu dắt hơn 40 lứa thế hệ chuyên Toán với gần 8.000 học trò thành đạt và sống trên khắp các châu lục trên thế giới. “Thương học trò như con", học trò cũ vẫn gọi “thương" cô bằng cái tên “Má Diễm"
Cô Mộng Diễm
